НЕСТАНДАРТНАТА МОНЕТА: Решението
Едва ли е необходимо да Ви даваме решението на ‘’Задачата с 9 монети’’, която бе за логическа загрявка преди основната ни задача, но все пак нека отделим малко време и за нея:
Решение на ‘’Задачата с 9 монети’’:
Деветте монети разделяме на 3 групи по 3 във всяка. Поставяме 3 монети от едната група срещу други 3 от другата, а третата група от 3 монети, оставяме встрани. Накъдето се наклони везната при първото замерване, там е и по-тежката монета. Вземаме 2 от по-тежката група от три монети и ги поставямя на везната една срещу друга за второ измерване, а третата оставяме встрани. Тогава накъдето наклони везната при второто измерване, тя е търсената монета. Ако везната при второто измерване е в равновесие, по-тежката монета е тази от трите, която сме отделили встрани. Другата възможност е при първото измерване везната да е в равновесие. Това ще означава, че търсената по-тежка монета е в отделената встрани група от 3 монети. В този случай аналогично като предния при второто измерване поставяме две от монетите една срещу друга на везната, а третата оставяме встрани. Както описахме и по-горе, която е по-тежка е търсената, а в случай на равновесие по-тежката монета е отделената встрани. Тази задача е значително по-лесна от следващата, защото по-условие знаем, че търсената монета е по-тежката. Аналогично е и решението, ако по-условие търсим по-леката от 9-те монети.
Другояче е при следващата ‘’Задача с 12 монети’’, в която по-условие не ни е известно дали ОТКЛОНЕНИЕТО в теглото е към по-леко, или по-тежко! Нека преминем към нея:
Решение на ‘’Задачата с 12-те монети’’:
Разделяме 12-те монети в 3 групи по 4 монети, като за целите на подробното и всеобхватно обяснение условно ги номерираме: Група I: 1,2,3,4 ; Група II: 5,6,7,8 ; Група III: 9,10,11,12.
Поставяте монетите от групи I и II на везната за първото разрешено замерване. Възможен ПЪРВИ ВАРИАНТ на резултата от Първото измерване:
При баланс/равновесие/ на везната в първото замерване, нестандартната монета очевидно е в група III. Второ замерване: Вземате три монети от някоя от другите 2 групи /например: 1,2,3/, които сме установили, че са стандартни и ги поставяме на везната срещу / 9,10,11/ от трета група, където сме установили, че е нестандартната монета. Ако отново има равновесие на везната, нестандартната монета е ‘’12’’, която сме оставили встрани. Тогава правим трето замерване, поставяйки нестандартната ‘’12’’ срещу която и да е друга и установяваме дали тя е по-лека, или по-тежка от останалите. Ако обаче при второто замерване везната се наклони в посока на /9,10,11/, това е гаранция, че нестандартната монета е по-тежка. Тогава за третото замерване вземаме произволни 2 монети от 3-те /9,10,11/ и ги поставяме на везната. Например на везната поставяме ‘’9’’ срешу ‘’10’’. Която е по-тежка е нестандартната. Ако везната се уравновеси, нестандартната монета е оставащата ‘’11’’ и тя задължително е по-тежка от другите. В случай, че при второто замерване сме установили, че групата от три монети / 9,10,11/ са били по-леки, спрямо стандартните / 1,2,3/, тогава при третото замерване търсим по-леката монета /тя е нестандартната/ по аналогичен ред ‘’9’’ срещу ‘’10’’ и 11 встрани.
По-интересен и по-труден за разгадаване е възможния ВТОРИ ВАРИАНТ, при който монетите от групи I и II не са с равно тегло. Например група II/ 5,6,7,8/ поставена на лявото блюдо на везната се явява по-лека от група I /1,2,3,4/ поставена на дясното. Обратния случай е аналогичен, като при предстоящите разсъждения и оставащи две тегления са важни и местата/блюдата на везната/, където поставяте монетите за предстоящото второ измерване. При този вариант, респективно е ясно, че монетите от група III са стандартни и търсената нестандартна е в някоя от групи I и II. В случая разсъжденията ни се усложняват от факта, че не ни е известно по-условието на задачата дали нестандартната монета е по-тежка, или по-лека спрямо останалите стандартни. Затова трябва да използваме за контрола монетите от група III /9,10,11,12/, които при този вариант сме установили, че са стандартни. Правим следното при второто замерване:
Отделяме встрани 3 монети от група I /1,2,3/, които са били на дясното/тежко/ блюдо на везната и вместо тях поставяме на него три монети от контролната/стандартна/ група III, например /9,10,11/ заедно с една от монета от група II, нека това е монетата ‘’5’’, която забележете /това е важно/, при първото замерване е била върху лявото/леко/ блюдо на везната . В лявото/леко/ блюдо на везната остават трите монети от група II /6,7,8/, които и при първото замерване са си били там, но добавяме към тях монетата ‘’4’’, която при първото замерване забележете /и това е важно/ е била на дясното/тежко/ блюдо на везната. Използвам думите ‘’леко’’ и ‘’тежко’’ блюдо на везната в условен смисъл, предвид дадените показания при първото измерване. Разбираемо самите блюда на везната са с идентични тегла. Значи поставяме отляво /6,7,8/ плюс ‘’4’’ срещу отдясно стандартните /9,10,11/ плюс ‘’5’’. При това второ замерване също има три възможни варианта:
Първи вариант от второто замерване: В случай, че везната се балансира, тогава нестандартната монета е някоя от трите /1,2,3/ оставени извън везната и то непременно тя ще е по-тежката, защото при първото замерване те са наклонили везната надясно. Няма как да е другояче при положение, че на тяхно място сме поставили на дясното блюдо стандартните /9,10,11/ и четвъртата монета там е ‘’5’’, която след първото замерване сме преместили от лявото/леко/ блюдо на дясното/тежко/. Продължаваме с третото измерваме като поставяме ‘’1’’ срещу ‘’2’’ и която е по-тежката, тя ще е и нестандартната. Ако те двете са с равно тегло, нестандартната ще е монетата ‘’3’’ от същата група и естествено тя ще е задължително по-тежка от останалите.
Втори вариант от второто замерване: Ако везната се наклони наляво към /6,7,8/ плюс ‘’4’’, тогава логичния извод е, че или ‘’4’’ отляво е по-тежка и тя е нестандартната, или ‘’5’’ отдясно е по-лека и тогава тя ще е нестандартната. Защо това е така ли? Защото при предното/първо/ замерване тези две монети са били на срещуположни блюда на везната и някоя от двете обръща при преместването си на другото блюдо наклона на везната от дясно в посока вляво. Тогава вземаме коя да е друга стандартна монета и правим третото замерване или срещу ’’4’’, или срещу ‘’5’’. Ако ‘’4’’ е по- тежка спрямо контролната/стандартна/ монета, тя ще е нестандартната. Ако са равни, нестандартната е ‘’5’’ и тя задължително е по-лека от останалите. Ако обратно предпочетете да правите контролното оставащо ви трето и последно замерване срещу монетата ‘’5’’, то задължително тя ще е, или по-лека, или равна на тегло с контролната. Ако ‘’5’’ е по-лека, тя е нестандартната, а ако теглата са равни, нестандартната монета е ‘’4’’ и тя ще е задължително по-тежка от останалите. Няма смисъл да правите и двете контролни замервания, още повече не ви се и разрешава по условието на задачата. А и не е необходимо, едното е достатъчно. В никакъв случай обаче не правете третото замерване като сложите на везната ‘’4’’ срещу ‘’5’’, защото такова действие няма да ви даде допълнителна информация и не е решение на задачата. Просто ще констатирате, че ‘’4’’ е по-тежка от ‘’5’’, но това вече е установено по логически път след двете измервания. А дали ‘’4’’ е по-тежка, защото е нестандартната, или ‘’5’’ е по-лека, поради същата причина, това няма как да разберете, затова действието е излишно и не води до решение. Затова сравнявате коя да е от двете срещу установена стандартна монете при третото контролно замерване по реда, който описахме по-горе.
Остава третия възможен вариант от второто измерване: Везната да се наклони отново надясно към /9,10,11/ плюс ‘’5’’. Единствената причина за такова показание на везната ще е в някоя от монетите /6,7,8/ от лявата страна да е нестандартната и непременно по-лека. Защо това е така ли? Защото и при предходното /първо/ замерване лявото блюдо на везната е било по-лекото и няма как монетата ‘’5’’ преместена от ляво/леко/ в дясно /тежко/ да е повлияла в посока към по-тежко/вдясно/, нито пък монетата ‘’4’’ преместена от дясно/тежко/ в ляво/леко/ да е повлияла в посока към по-леко/вляво/. Влиянието към по-леко вляво ще е единствено и само в трите монети, които и при първото замерване са си били на лявото блюдо и това са монетите /6,7,8/. В този случай слагате две от тях /например 6 срещу 7/ на везната за оставащото ви последно трето замерване. Която е по-леката тя е нестандартната. Ако двете са с равни тегла нестандартната е третата от групата, в случая отделената встрани монета ‘’8’’ и както казахме тя задължително ще е по-лека от останалите, без да е необходимо да се прави допълнително измерване.
Ключовият момент на решението при разглеждания по-сложен ВТОРИ ВАРИАНТ на резултата от Първото измерване е смяната на местата при второто замерване на една монета отляво надясно и друга отдясно наляво, както и използването на три от четирите контролни монети, които след първото измерване сме установили със сигурност, че са стандартни.
Аналогично е решението на задачата и в случай, че монетите са не 12, а 13 на брой. И при 13 монети разделяме на 3 групи по 4 монети, а 13-тата отделяме встрани. Разликата е само тази, че ако монетите са 13, остава един вариант, в който въпреки, че сме определили нестандартната монета, няма да знаем дали тя е по-лека, или по-тежка от останалите. Това е в случай, че се получи резултата от ПЪРВИ ВАРИАНТ на Първото измерване, при който везната е в равновесие. Тогава и ако при следващото второ замерване везната отчете второ равновесие, при третото измерване ще трябва да избираме между монети ‘’12’’ и ‘’13’’. Която и от двете да поставим срещу някоя от стандартните монети, при трето поредно равновесие на везната ще сме установили със сигурност, че отделената встрани монета ‘’13’’/или ‘’12’’/ е нестандартната, но не и дали е по-лека, или по-тежка от останалите. Абсолютна грешка е при последното трето измерване е да поставим ‘’12’’ срещу ‘’13’’, тогава само ще установим, че едната е по-лека, а другата по-тежка, но не и даже, коя от двете е нестандартната. Такова действие е излишно и по-логически път сме наясно, че резултата ще е такъв. Само в този единичен, но възможен вариант на три поредни равновесия на везната ще сме установили, че нестандартна е монета отделена встрани/’’12’’, или ‘’13’’/, но ще ни е нужно 4-то поред замерване за да разберем дали тя е по-лека, или по-тежка от останалите. Във всеки друг вариант ще можем да установим коя от 13-те е нестандартната само с три измервания, както и дали тя е по-лека, или по-тежка от другите. Но всяко пълно решение трябва да е обхванало всички възможни варианти.
Извинявам се за подробното и обстоятелствено обяснение на решенията, можех и да съм по-кратък, но с риск да остана неразбран от някои читатели!
Матей Матев
Дата: 12.11.2018 г.
видяно 58382 пъти
назад
Коментари
Имам процедура с решението на задачата в ексел, която пита три въпроса за поставени номерирани монети или топчета на везната и когато въведете своят отговор, програмата генерира решението и по този начин ефектно отгатва намислената от ползвателя различна монета.
Nikolay Petkov
https://docs.google.com/spreadsheets/d/17Hivs3uf-VABBSq19v2PCJETqrUxGvHk/edit?usp=sharing&ouid=102710091973693344224&rtpof=true&sd=true